qual a soma dos 14 primeiros termos da PA (5, 12, 19, ...)
[tex]\blacksquare[/tex] Após os cálculos, concluímos que a soma dos 14 primeiros termos da progressão aritmética dada é 707.
A soma dos n termos de uma PA é dada pela expressão [tex]\large{\text{$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2} $}}[/tex], onde:
[tex]\large{\text{$\begin{cases} a_1= \text{Primeiro termo da PA} \\ a_n= \text{Ultimo termo da PA}\\ n=\text{Quantidade de elementos da PA}\end{cases}$}}[/tex]
Pelo enunciado, temos que:
[tex]\large{\text{$a_1=5$}}\\\\\large{\text{$a_n=?$}}\\\\\large{\text{$n=14$}}[/tex]
Precisamos então descobrir o décimo quarto termo da PA, pois pelo enunciado, só nos interessa a soma dos 14 primeiros termos.
- Descobrindo o décimo quarto termo da PA
Podemos usar a fórmula do termo geral da PA, que é:
[tex]\large{\text{$a_n=a_1 + (n-1) \cdot r$}}[/tex]
A razão de uma PA pode ser encontrada fazendo o segundo termo menos o primeiro:
[tex]\large{\text{$r= a_2 -a_1$}}\\\\\large{\text{$r=21-5$}}\\\\ \large{\text{$\boxed{r=7}$}}[/tex]
Agora que conhecemos a razão da PA, voltemos à fórmula do termo geral:
[tex]\large{\text{$a_n=a_1 + (n-1) \cdot r$}}\\\\\large{\text{$a_{14}=5 + (14-1) \cdot 7$}}\\\\\large{\text{$a_{14}=5 + 13 \cdot 7$}}\\\\\large{\text{$a_{14}=5 + 91$}}\\\\\large{\text{$\boxed{a_{14}= 96}$}}[/tex]
Agora que temos o décimo quarto termo [tex]\large{\text{$a_{14}$}}[/tex], vamos enfim calcular a soma dos 14 primeiros termos da PA.
- Soma dos 14 primeiros termos
Usando a fórmula para soma de termos da PA:
[tex]\large{\text{$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2} $}}\\\\\\\large{\text{$S_{14}=\dfrac{(5+96)\cdot 14}{2} $}}\\\\\\\large{\text{$S_{14}=\dfrac{101\cdot 14}{2} $}}\\\\\\\large{\text{$S_{14}=\dfrac{1414}{2} $}}\\\\\\\large{\text{$\boxed{S_{14}=707}$}}[/tex]
Portanto, a soma dos 14 primeiros termos da PA dada é 707.
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